Команда "За СКОБКАМИ"
Сетевой проект "Тайны натурального ряда чисел"
Применение формулы бинома Ньютона
Знакомясь с формулой бинома Ньютона, мы узнали, что она используется:
-
В курсе алгебры
-
При решении комбинаторных задач
-
Для решения различных практических задач в области физики
-
В программировании и др областях
Приведем некоторые примеры
Алгебра. Комбинаторика и теория вероятности
Формула перестановок.
Числа имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение.
Такая запись называется треугольником Паскаля:
Правило записи треугольника простое и легко запоминается: каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке.
Свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так:
Треугольник Паскаля находит свое применение еще в одной математической задаче. В 7 класса мы познакомились с формулами сокращенного умножения:
Самое первое правило, которое мы выучили, это квадрат суммы:
(х+y)2 =x2+2xy+y2
Легко найти выражение и для следующей степени (даже не зная формулы) по правилу перемножения многочленов:
(x+y)3=(x2+2xy+y2)(x+y)=x3+3x2y+3xy2+y3
Сделаем то же самое для четвертой степени:
(x+y)4=(x3+3x2y+3xy2+y3)(x+y)=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4
Выпишем полученные формулы и проведем их анализ:
(x+y)1=x+y.
(x+y)2 =x2+2xy+y2
(x+y)3=(x2+2xy+y2)(x+y)=x3+3x2y+3xy2+y3
(x+y)4=(x3+3x2y+3xy2+y3)(x+y)=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4
- Оказывается показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части для любого слагаемого.
- Коэффициенты же в правой части образуют треугольник Паскаля!
Эти два замечательных свойства, замеченных выше, позволяют вычислять сумму двух одночленов в n-ой степени:
Эта формула называется "Бином Ньютона". Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми называются биномиальными коэффициентами.
Рассмотрим примеры:
Раскрыть скобки: а) (y+1)7
Решение.
Воспользуемся треугольником Паскаля для определения биноминальных коэффициентов: 1; 7; 21; 35; 35; 21; 7; 1
В итоге получим: (y+1)7=y7+7y6+21y5+35y4+35y3+21y2+7y+1
Треугольник Паскаля позволяет объяснить принцип
действия так называемой доски Гамильтона - механического
устройства служащего для демонстрации приближенного
гауссовского распределения (Распределение Гаусса
(нормальное распределение) − плотность распределения
вероятностей случайной величины n).
Биология и медицина
-
С помощью использования бинома Ньютона рассчитывают частоты распределения окролов по доминантной окраске шерсти.
-
Расчет вариаций признака, частоты генетических значений (т.е. с какой частотой встречаются особи, содержащие разное число доминант в генотипе).
Шахматы
В книге Евгения Гика "Шахматы и математика" в главе, посвященной геометрии шахматной доски) автор приводит примеры, когда знание вариантов маршрута короля позволило мастерам спасать совершенно проигрышные позиции. (Описан знаменитый этюд Рети, в котором король удивительным образом успевает повоевать в двух противоположных участках доски).
Дело в том, что количество вариантов маршрутов короля для достижения каждого поля подчиняется закономерности треугольника Паскаля!
Еще один пример. По общеизвестной легенде индийский раджа обещал
создателю шахмат любую награду, которую тот попросит. Когда же первый
шахматист попросил положить на первый квадрат доски одно пшеничное
зерно, на второй - два, на третий - четыре, и так продолжая удваивать,
до 64-го квадрата, то раджа даже обиделся сначала мизерностью просимой
награды. Когда же его визири прикинули просимое количество, то
оказалось, что этим зерном можно было бы засыпать всю Землю по
колено, это намного больше, чем было и будет собрано во всех урожаях
человечества. Можно рассчитать высоту слоя зерна, например, приняв
объем зернышка в 1 мм3, умножить на 264, непременно отнять 1 и
разделить на площадь земной поверхности. Так вот - на каждой клетке
доски лежало (бы) количество зерен, равное сумме чисел в
соответствующей строке треугольника Паскаля, а сумма всех зернышек
на первых n клетках равнялась (бы) сумме чисел на этих n строках этого
волшебного треугольника.
Литература
В литературе бином Ньютона авторы использовали в качестве фразеологизма. Шутливая фраза, применяется по отношению к простому делу, которое считают сложным и непосильным для выполнения.
Слова Короваева из романа Михаила Булгакова (1891 - 1940 гг.) «Мастер и Маргарита» (1940 г.), который решил прокомментировать разговор Воланда с буфетчиком Соковым. Буфетчик жалуется на зрителей, которые расплатились с ним фальшивыми деньгами, чем «на сто девять рублей наказали буфет».
«- Ну, конечно, это не сумма, - снисходительно сказал Воланд своему гостю, - хотя, впрочем, и она, собственно, вам не нужна. Вы когда умрете?
Тут уж буфетчик возмутился.
- Это никому не известно и никого не касается, - ответил он.
- Ну да, неизвестно, - послышался все тот же дрянной голос (Коровьева) из кабинета, - подумаешь, бином Ньютона! Умрет он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвертой палате».
Позже выражение «Подумаешь, бином Ньютона!», упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.
Роман Е. Н. Вильмонт получил название «Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!».